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प्रश्न
x = 2 पर, f(x) = `{{:(x[x]",", "यदि" 0 ≤ x < 2),((x - 1)x",", "यदि" 2 ≤ x < 3):}`
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उत्तर
हम जानते हैं कि एक फलन f अपने प्रांत में एक बिंदु ‘a’ पर अवकलनीय होता है यदि
Lf'(x) = Rf'(c)
जहाँ Lf'(c) = `lim_("h" -> 0) ("f"("a" - "h") - "f"("a"))/(-"h")` और Rf'(c) = `lim_("h" -> 0) ("f"("a" + "h") - "f"("a"))/"h"`
यहाँ, x = 2 पर f(x) = `{{:(x[x]",", "यदि" 0 ≤ x < 2),((x - 1)x",", "यदि" 2 ≤ x < 3):}`
Lf'(c) = `lim_("h" -> 0) ("f"(2 - "h") - "f"(2))/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ((2 - "h")[2 - "h"] - (2 - 1)2)/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ((2 - "h") * 1 - 2)/(-"h")` ....[∵ [2 – h] = 1]
= `lim_("h" -> 0) (2 - "h" - 2)/(-"h")`
= 1
Rf'(c) = `lim_("h" -> 0) ("f"(2 + "h") - "f"(2))/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ((2 + "h" - 1)(2 + "h") - (2 - 1)*2)/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ((1 + "h")(2 + "h") - 2)/"h"`
= `lim_("h" -> 0) (2 - "h" + 2"h" + "h"^2 - 2)/"h"`
= `lim_("h" -> 0) (3"h" + "h"^2)/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ("h"(3 + "h"))/"h"`
= 3
Lf"(2) ≠ Rf'(2)
इसलिए, x = 2 पर f(x) अभेद्य नहीं है।
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दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
फलन f(x) = [x], जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन को व्यक्त करता है, निम्नलिखित पर संतत है।
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उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ फलन f(x) = `1/(log|x|)` असंतत है, ______ है।
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x = a पर f (x) संततता के लिए? `lim_(x -> "a"^+) "f"(x)` और `lim_(x -> "a"^-) "f"(x)` में से प्रत्येक f (a) के बराबर होता है।
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फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
x = 0 पर, f(x) = `{{:(x^2 sin 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
`2^(cos^(2_x)`
sinn (ax2 + bx + c)
sinmx . cosnx
`tan^-1 (secx + tanx), - pi/2 < x < pi/2`
x = `"t" + 1/"t"`, y = `"t" - 1/"t"`
tan–1x के सापेक्ष `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.
यदि yx = ey – x तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (1 + log y)^2/logy`
[0, 1] में f(x) = x(x – 1)2
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[1, 4] में f(x) = `1/(4x - 1)`
बिंदुओं का वह समुच्चय, जहाँ f(x) = |2x − 1| sinx| से दिये जाना वाला फलन f अवकलनीय है, निम्नलिखित है।
फलन f(x) = `"e"^|x|`
वक् `sqrt(x) + sqrt(y)` = 1 के लिए, `(1/4, 1/4)` पर `"dy"/"dx"` ______
[0, 2] में फलन f(x) = |x – 1| के लिए, रोले का प्रमेय प्रयुक्त है।
दो संतत फलनों का संयोजन एक संतत फलन होता है।
