Advertisements
Advertisements
प्रश्न
`tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 + x^2) - sqrt(1 - x^2))), -1 < x < 1, x ≠ 0`
Advertisements
उत्तर
माना y = `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 + x^2) - sqrt(1 - x^2)))`
x2 = cos 2θ रखने पर
∴ θ = `1/2 cos^-1 x^2`
y = `tan^-1 ((sqrt(1 + cos 2theta) + sqrt(1 - cos 2theta))/(sqrt(1 + cos 2theta) - sqrt(1 - cos 2theta)))`
⇒ y = `tan^-1 ((sqrt(2cos^2theta) + sqrt(2sin^2theta))/(sqrt(2cos^2theta) - sqrt(2sin^2theta)))`
⇒ y = `tan ((sqrt(2) cos theta + sqrt(2) sin theta)/(sqrt(2) cos theta - sqrt(2) sin theta))`
⇒ y = `tan^-1 ((cos theta + sin theta)/(cos theta - sin theta))`
⇒ y = `tan^-1 [((costheta)/(costheta) + (sintheta)/(costheta))/((costheta)/(costheta) - (sintheta)/(costheta))]`
⇒ y = `tan^-1 [(1 + tan theta)/(1 - tan theta)]`
⇒ y = `tan^-1 [(tan pi/4 + tan theta)/(1 - tan pi/4 * tan theta)]`
⇒ y = `tan^-1 [tan (pi/4 + theta)]`
⇒ y = `pi/4 + theta`
⇒ y = `pi/4 + 1/2 cos^-1 x^2`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
`"dy"/"dx" = "d"/"dx" (pi/4) + 1/2 "d"/"dx" (cos^-1 x^2)`
= `0 + 1/2 xx (-1)/sqrt(1 - x^4) * "d"/"dx" (x^2)`
= `(-1.2x)/(2sqrt(1 - x^4)`
= `- x/sqrt(1 - 4x^4)`
इसलिए, `"dy"/"dx" = - x/sqrt(1 - x^4)`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
(log x)log x, x > 1
फलन f(x) = sin x . cos x के सांतत्य की चर्चा कीजिए।
यदि f(x) = `{{:((x^3 + x^2 - 16x + 20)/(x - 2)^2",", x ≠ 2),("k"",", x = 2):}` पर संतत है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
यदि f(x) = |cos x|, है, तो f ′ `((3pi)/4)` ज्ञात कीजिए।
यदि f(x) = |cos x – sinx| है, तो `"f'"(pi/6)` ज्ञात कीजिए।
x के सापेक्ष sec (tan–1x) का अवकल गुणांक है
यदि f(x) = `{{:("a"x + 1,"if" x ≥ 1),(x + 2,"if" x < 1):}` संतत है, तो a ______ के बराबर मान होना चाहिए।
x = 2 पर f(x) = `{{:(3x + 5",", "यदि" x ≥ 2),(x^2",", "यदि" x < 2):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
फलन f(t) = `1/("t"^2 + "t" - 2)`, की असंततता के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए, जहाँ t = `1/(x - 1)` है।
x = 2 पर, f(x) = `{{:(x[x]",", "यदि" 0 ≤ x < 2),((x - 1)x",", "यदि" 2 ≤ x < 3):}`
x = 2 पर, f(x) = `{{:(1 + x",", "यदि" x ≤ 2),(5 - x",", "यदि" x > 2):}`
दर्शाइए कि x = 5 पर, f(x) = |x – 5| संतत है, परंतु अवकलनीय नहीं है।
`8^x/x^8`
sinn (ax2 + bx + c)
`sec^-1 (1/(4x^3 - 3x)), 0 < x < 1/sqrt(2)`
`sin xy + x/y` = x2 – y
यदि x = `"e"^(x/y)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (x - y)/(xlogx)`
यदि x sin (a + y) + sin a cos (a + y) = 0 तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (sin^2("a" + y))/sin"a"`
[0, 1] में f(x) = x3 – 2x2 – x + 3
यदि xm . yn = (x + y)m+n है तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = y/x`
यदि y = `x^tanx + sqrt((x^2 + 1)/2)` है, तो `"dy"/"dx"` ज्ञात कीजिए।
यदि f(x) = `x^2 sin 1/x` जहाँ x ≠ 0 तो x = 0 पर फलन f का मान निम्नलिखित होगा यदि यह फलन x = 0 संतत है।
वक् `sqrt(x) + sqrt(y)` = 1 के लिए, `(1/4, 1/4)` पर `"dy"/"dx"` ______
[0, 2] में फलन f(x) = |x – 1| के लिए, रोले का प्रमेय प्रयुक्त है।
यदि f अपने प्राँत D पर संतत है, तो |f| भी D पर संतत होगा।
यदि f.g बिंदु x = a पर संतत है, तो f और g बिंदु x = a पर पृथक-पृथक रूप से संतत होते हैं।
