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प्रश्न
[0, 1] में f(x) = x3 – 2x2 – x + 3
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उत्तर
हमारे पास, [0, 1] में f(x) = x3 – 2x2 – x + 3 है।
क्योंकि, f(x) एक बहुपद फलन है, यह [0, 1] में संतत है और (0, 1) में अवकलनीय है।
इस प्रकार, माध्य मान प्रमेय की शर्तें संतुष्ट होती हैं।
इसलिए, एक वास्तविक संख्या c ∈ (0, 1) मौजूद है जैसे कि
f'(c) = `("f"(1) - "f"(0))/(1 - 0)`
⇒ 3c2 – 4c – 1 = `([1 - 2 - 1 + 3] - [0 + 3])/(1 - 0)`
⇒ 3c2 – 4c – 1 = –2
⇒ 3c2 – 4c + 1 = 0
⇒ (3c – 1)(c – 1) = 0
⇒ c = `1/3 ∈ (0, 1)`
इसलिए, माध्य मान प्रमेय को सत्यापित किया गया है।
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दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
उन बिंदुओं की संख्या जिन पर फलन f(x) = `1/(x - [x])` संतत नहीं है,
k का वह मान, जो f(x) = `{{:(sin 1/x",", "if" x ≠ 0),("k"",", "if" x = 0):}` द्वारा परिभाषित फलन को x = 0 पर संतत बना दे,
x के सापेक्ष sec (tan–1x) का अवकल गुणांक है
cos |x| प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है।
x = 2 पर (x) = `{{:((2x^2 - 3x - 2)/(x - 2)",", "यदि" x ≠ 2),(5",", "यदिf" x = 2):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:(|x|cos 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
फलन f(t) = `1/("t"^2 + "t" - 2)`, की असंततता के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए, जहाँ t = `1/(x - 1)` है।
दर्शाइए कि फलन f(x) = |sin x + cos x| बिंदु x = π पर संतत है।
sinmx . cosnx
(x2 + y2)2 = xy
यदि y = `(cos x)^((cos x)^((cosx)....oo)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (y^2 tanx)/(y log cos x - 1)`
[–3, 0] में f(x) = `x(x + 3)e^((–x)/2)`
[0, π] में f(x) = sinx – sin2x
माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 2x2 – 5x + 3 पर एक ऐसा बिंदु है जो A(1, 0) और B (2, 1) बिंदुओं के बीच स्थित है तथा उस पर खींची गयी स्पर्श रेखा जीवा AB के समांतर है। साथ ही, वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए।
p और q के ऐसे मान ज्ञात कीजिए कि फलन f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` बिंदु x = 1 पर अवकलनीय हो।
बिंदुओं का वह समुच्चय, जहाँ f(x) = |2x − 1| sinx| से दिये जाना वाला फलन f अवकलनीय है, निम्नलिखित है।
फलन f(x) = `"e"^|x|`
यदि f(x) = `{{:("m"x + 1",", "यदि" x ≤ pi/2),(sin x + "n"",", "यदि" x > pi/2):}` बिंदु x = `pi/2` पर संतत है तो
मान लीजिए f(x) = |sin x| है, तब
एक ऐसे फलन का उदाहरण जो सभी स्थानों पर संतत है, परंतु ठीक दो बिंदुओं पर अवकलनीय रहने में असमर्थ रहता है ______ है।
x3 के सापेक्ष x2 अवकलज ______ है।
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[0, 2] में फलन f(x) = |x – 1| के लिए, रोले का प्रमेय प्रयुक्त है।
दो संतत फलनों का संयोजन एक संतत फलन होता है।
त्रिकोणमितीय एवं त्रिकोणमितीय व्युत्क्रम फलन अपने-अपने प्राँतों में अवकलनीय होते हैं।
यदि f.g बिंदु x = a पर संतत है, तो f और g बिंदु x = a पर पृथक-पृथक रूप से संतत होते हैं।
