Advertisements
Advertisements
Question
sin x = `(2"t")/(1 + "t"^2)`, tan y = `(2"t")/(1 - "t"^2)`
Advertisements
Solution
यह देखते हुए कि sin x = `(2"t")/(1 + "t"^2)` और tan y = `(2"t")/(1 - "t"^2)`
∴ sin x = `(2"t")/(1 + "t"^2)` लेना
दोनों पक्षों को w.r.t t, से अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
`cosx* "dx"/"dt" = ((1 + "t"^2) * "d"/"dt" (2"t") - 2"t" * "d"/"dt" (1 + "t"^2))/(1 + "t"^2)^2`
⇒ `cosx * "dx"/"dt" = (2(1 + "t"^2) - 2"t" * 2"t")/(1 + "t"^2)^2`
⇒ `"dx"/"dt" = (2 + 2"t"^2 - 4"t"^2)/(1 - "t"^2)^2 xx 1/cosx`
⇒ `"dx"/"dt" = (2 - 2"t"^2)/(1 + "t"^2)^2 xx 1/sqrt(1 - sin^2x)`
⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx 1/sqrt(1 - ((2"t")/(1 + "t"^2))^2`
⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx 1/(sqrt((1 + "t"^2)^2 - 4"t"^2)/(1 + "t"^2)^2)`
⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx (1 + "t"^2)/sqrt(1 + "t"^4 + 2"t"^2 - 4"t"^2)`
⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx 1/sqrt(1 + "t"^4 - 2"t"^2)`
⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx 1/sqrt((1 - "t"^2)^2`
⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx 1/((1 - "t"^2))`
⇒ `"dx"/"dt" = 2/(1 + "t"^2)`
अब लेना, tan y = `2/(1 - "t"^2)`
दोनों पक्षों को w.r.t, t, से अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
`"d"/"dt" (tan y) = "d"/"dt" ((2"t")/(1 - "t"^2))`
⇒ `sec^2y "dy"/"dt" = ((1 - "t"^2) * "d"/"dt" (2"t") - 2"t" * "d"/"dt" (1 - "t"^2))/((1 - "t"^2)^2`
⇒ `sec^2y "dy"/"dt" = ((1 - "t"^2) * 2 - 2"
t" * (-2"t"))/(1 - "t"^2)^2`
⇒ `sec^2y "dy"/"dt" = (2 - 2"t"^2 + 4"t"^2)/(1 - "t"^2)^2`
⇒ `"dy"/"dt" = (2 + 2"t"^2)/(1 - "t"^2)^2 xx 1/sec^2y`
⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx 1/(1 + tan^2y)`
⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx 1/(1 + ((2"t")/(1 - "t"^2))^2`
⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx 1/(((1 - "t"^2)^2 + 4"t"^2)/(1 - "t"^2)^2)`
⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx (1 - "t"^2)^2/(1 + "t"^2 + 2"t"^2 + 4"t"^2)`
⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx (1 - "t"^2)^2/(1 + "t"^4 + 2"t"^2)`
⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx (1 - "t"^2)^2/(1 + "t"^2)^2`
⇒ `"dy"/"dt" = 2/(1 + "t"^2)`
∴ `"dy"/"dt" = ("dy"/"dt")/("dx"/"dt")`
= `(2/(1 + "t"^2))/(2/(1 + "t"^2))`
= 1
अत: `"dy"/"dt"` = 1
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
cos (a cos x + b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।
f(x) = `1/(x - 1)` दिया है। संयोजित फलन y = f [f(x)] में असंतत के बिंदु ज्ञात कीजिए।
यदि x = a sec3θ और y = a tan3θ है, तो θ = `pi/3` पर `("d"y)/("d"x)` ज्ञात कीजिए।
उन बिंदुओं की संख्या जिन पर फलन f(x) = `1/(x - [x])` संतत नहीं है,
k का वह मान, जो f(x) = `{{:(sin 1/x",", "if" x ≠ 0),("k"",", "if" x = 0):}` द्वारा परिभाषित फलन को x = 0 पर संतत बना दे,
यदि u = `sin^-1 ((2x)/(1 + x^2))` और v = `tan^-1 ((2x)/(1 - x^2))`, है, तो `"du"/"dv"` है
यदि f(x) = `{{:("a"x + 1,"if" x ≥ 1),(x + 2,"if" x < 1):}` संतत है, तो a ______ के बराबर मान होना चाहिए।
x = a पर f (x) संततता के लिए? `lim_(x -> "a"^+) "f"(x)` और `lim_(x -> "a"^-) "f"(x)` में से प्रत्येक f (a) के बराबर होता है।
x = 1 पर f(x) = |x| + |x − 1|
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
फलन f(t) = `1/("t"^2 + "t" - 2)`, की असंततता के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए, जहाँ t = `1/(x - 1)` है।
दर्शाइए कि फलन f(x) = |sin x + cos x| बिंदु x = π पर संतत है।
दर्शाइए कि x = 5 पर, f(x) = |x – 5| संतत है, परंतु अवकलनीय नहीं है।
sinn (ax2 + bx + c)
`tan^-1 (("a"cosx - "b"sinx)/("b"cosx - "a"sinx)), - pi/2 < x < pi/2` तथा `"a"/"b" tan x > -1`
`tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 + x^2) - sqrt(1 - x^2))), -1 < x < 1, x ≠ 0`
x = `"t" + 1/"t"`, y = `"t" - 1/"t"`
sinx के सापेक्ष `x/sinx`को अवकलित कीजिए।
यदि x = `"e"^(x/y)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (x - y)/(xlogx)`
यदि yx = ey – x तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (1 + log y)^2/logy`
[1, 5] में f(x) = `sqrt(25 - x^2)`
माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 2x2 – 5x + 3 पर एक ऐसा बिंदु है जो A(1, 0) और B (2, 1) बिंदुओं के बीच स्थित है तथा उस पर खींची गयी स्पर्श रेखा जीवा AB के समांतर है। साथ ही, वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए।
यदि x = sint और y = sin pt है तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - x^2) ("d"^2"y")/("dx"^2) - x "dy"/"dx" + "p"^2y` = 0 है।
यदि y = `x^tanx + sqrt((x^2 + 1)/2)` है, तो `"dy"/"dx"` ज्ञात कीजिए।
फलन f(x) = `"e"^|x|`
यदि f(x) = `x^2 sin 1/x` जहाँ x ≠ 0 तो x = 0 पर फलन f का मान निम्नलिखित होगा यदि यह फलन x = 0 संतत है।
cos–1(2x2 – 1) के सापेक्ष cos–1x का अवकलज है।
एक ऐसे फलन का उदाहरण जो सभी स्थानों पर संतत है, परंतु ठीक दो बिंदुओं पर अवकलनीय रहने में असमर्थ रहता है ______ है।
