Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि x = asin2t (1 + cos2t) और y = b cos2t (1–cos2t) तो दर्शाइए कि, x = `pi/4` पर;`("dy"/"dx") = "b"/"a"`
Advertisements
उत्तर
दिया गया है: x = asin2t (1 + cos 2t) और y = bcos2t (1 – cos 2t).
दोनों प्राचलिक फलनों को अलग करना w.r.t. t
`"dx"/"dt" = "a"[sin2"t" * "d"/"dt" (1 + cos 2"t") + (1 + cos 2"t") * "d"/"dt" sin 2"t"]`
= a[sin 2t .(– sin 2t) + (1 + cos 2t)(cos 2t).2]
= a[2(cos22t – sin22t + 2 cos 2t]
= a[2 cos22t – sin22t) + 2 cos 2t]
= a[2 cos 4t + 2 cos 2t] ....[∵ cos 2x = cos2x – sin2x]
= 2a[cos 4t + cos 2t]
y = b cos 2t (1 – cos 2t)
`"dy"/"dx" = "b"[cos 2"t" * "d"/"dt" (1 - cos 2"t") + (1 - cos 2"t") * "d"/"dt" (cos 2"t")]`
= b[cos 2t . sin 2t.2 + (1 – cos 2t).(– son 2t).2
= b[sin 4t – 2 sin 2t - 2 sin 2t + 2 sin 2t cos 2t]
= b[2 sin 4t – 2 sin 2t]
= 2b (sin 4t – sin 2t)
∴ `"dy"/"dx" = ("dy"/"dt")/("dx"/"dt")`
= `(2"b"[sin 4"t" - sin2"t"])/(2"a"[cos 4"t" + cos 2"t"])`
= `"b"/"a" [(sin 4"t" - sin 2"t")/(cos 4"t" + cos 2"t")]`
t = `pi/4` रखिये
∴ x = `pi/4` पर;`("dy"/"dx") = "b"/"a" [(sin 4(pi/4) - sin 2* (pi/4))/(cos 4(pi/4) + cos 2*(pi/4))]`
= `"b"/"a" [(sin pi - sin pi/2)/(cos pi + cos pi/2)]`
= `"b"/"a" [(0 - 1)/(-1 + 0)]`
= `"b"/"a"((-1)/(-1))`
= `"b"/'a"`
इसलिए, x = `pi/4` पर;`("dy"/"dx") = "b"/"a"`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`(cos^(-1) x/2)/sqrt(2x+7)`, −2 < x < 2
यदि f(x) = `{{:((x^3 + x^2 - 16x + 20)/(x - 2)^2",", x ≠ 2),("k"",", x = 2):}` पर संतत है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
यदि f(x) = `(sqrt(2) cos x - 1)/(cot x - 1), x ≠ pi/4` है, तो `"f"(pi/4)` का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि x = `pi/4` पर f (x) संतत बन जाए।
`cos^-1(2xsqrt(1 - x^2))` के सापेक्ष `tan^-1 (sqrt(1 - x^2)/x)` को अवकलित कीजिए, जहाँ `x ∈ (1/sqrt(2), 1)` है।
f (x) = tanx द्वारा दिए जाने वाला फलन निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है
उन बिंदुओं का सम्मुच्चय, जहाँ f(x) = |x – 3| cosx द्वारा दिया जाने वाला फलन अवकलनीय है,
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
| (A) यदि फलन f(x) = `{((sin3x)/x, "यदि फलन" x = 0),("k"/2",", "यदि फलन" x = 0):}` x = 0 पर संतत है, तो k बराबर है |
(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
| (D) तत्समक फलन, अर्थात, f (x) = x ∀ ∈x R एक संतत फलन है |
(d) असत्य |
यदि f(x) = `{{:("a"x + 1,"if" x ≥ 1),(x + 2,"if" x < 1):}` संतत है, तो a ______ के बराबर मान होना चाहिए।
y = |x – 1| एक संतत फलन है।
cos |x| प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है।
फलन f(x) = x3 + 2x2 – 1 को x = 1 पर संततता की जाँच कौजिए।
x = 0 पर f(x) = `{{:(|x|cos 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
सिद्ध कीजिए कि f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",", x ≠ 0),("k", x = 0):}` से परिभाषित फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत रहता है, चाहे k का कोई भी मान लिया जाए।
फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
x = 2 पर, f(x) = `{{:(1 + x",", "यदि" x ≤ 2),(5 - x",", "यदि" x > 2):}`
`2^(cos^(2_x)`
sinn (ax2 + bx + c)
`sin^-1 1/sqrt(x + 1)`
`tan^-1 (secx + tanx), - pi/2 < x < pi/2`
sec(x + y) = xy
tan–1(x2 + y2) = a
(x2 + y2)2 = xy
यदि y = tan–1x, तो केवल y के पदों में `("d"^2y)/("dx"^2)` ज्ञात कीजिए।
[– 2, 2] में f(x) = `sqrt(4 - x^2)`
f(x) = `{{:(x^2 + 1",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(3 - x",", "यदि" 1 ≤ x ≤ 2):}` द्वारा दिए जाने वाले फलन पर रोले के प्रमेय की अनुप्रयोगता पर चर्चा कीजिए।
यदि f(x) = `{{:("m"x + 1",", "यदि" x ≤ pi/2),(sin x + "n"",", "यदि" x > pi/2):}` बिंदु x = `pi/2` पर संतत है तो
cos–1(2x2 – 1) के सापेक्ष cos–1x का अवकलज है।
x3 के सापेक्ष x2 अवकलज ______ है।
यदि f अपने प्राँत D पर संतत है, तो |f| भी D पर संतत होगा।
