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Question
यदि f(x) = `(sqrt(2) cos x - 1)/(cot x - 1), x ≠ pi/4` है, तो `"f"(pi/4)` का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि x = `pi/4` पर f (x) संतत बन जाए।
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Solution
दिया है f(x) = `(sqrt(2) cos x - 1)/(cot x - 1), x ≠ pi/4`
अतः, `lim_(x -> pi/4) "f"(x) = lim_(x -> pi/4) (sqrt(2) cos x - 1)/(cot x - 1)`
= `lim_(x -> pi/4) ((sqrt(2) cos x - 1) sin x)/(cos x - sin x)`
= `lim_(x -> pi/4) ((sqrt(2) cos x - 1))/((sqrt(2) cos x + 1)) * ((sqrt(2) cos x + 10))/((cosx - sin x)) * ((cosx + sin x))/((cos x + sin x)) * sin x`
= `lim_(x -> pi/4) (2cos^2 x - 1)/(cos^2 x - sin^2x) * (cosx + sinx)/(sqrt(2) cos x + 1) * (sin x)`
= `lim_(x -> pi/4) (cos 2x)/(cos 2x) * ((cosx + sinx)/(sqrt(2) cos x + 1)) * (sin x)`
= `lim_(x -> pi/4) ((cosx + sin x))/(sqrt(2) cos x + 1) sinx`
= `(1/sqrt(2) (1/sqrt(2) + 1/sqrt(2)))/(sqrt(2) * 1/sqrt(2) + 1)`
= `1/2`
इस प्रकार,, `lim_(x -> pi/2) "f"(x) = 1/2`
यदि हम `"f"(pi/4) = 1/2`, परिभाषित करें, तो x = `pi/4` पर f(x) संतत बन जाएगा।
अतः, f के x = `pi/4` पर संतत होने लिए `"f"(pi/4) = 1/2` है।
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