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Question
sinx के सापेक्ष `x/sinx`को अवकलित कीजिए।
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Solution
मान लीजिए y = `x/sinx` और z = sin x.
दोनों प्राचलिक फलनों को अलग करना w.r.t. x
`"dy"/"dx" = (sin x * "d"/"dx" (x) - x * "d"/"dx" (sin x))/(sin x)^2`
= `(sin x * 1 - x * cos x)/(sin^2x)`
= `(sinx - x cos x)/(sin^2x)`
`"dz"/"dx"` = cos x
∴ `"dy"/"dz" = ("dy"/"dx")/("dz"/"dx")`
= `((sinx - x cos x)/sin^2x)/cosx`
= `(sinx - xcosx)/(sin^2x cos x)`
= `sinx/(sin^2x cosx) - (xcosx)/(sin^2x cosx)`
= `tanx/(sin^2x) - x/(sin^2x)`
= `(tanx - x)/(sin^2x)`
इसलिए, `"dy"/"dz" = (tanx - x)/(sin^2x)`
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दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
मान लीजिए कि f(x) = `{{:((1 - cos 4x)/x^2",", "यदि" x < 0),("a"",", "if" x = 0),(sqrt(x)/(sqrt(16) + sqrt(x) - 4)",", "यदि" x > 0):}` है। a के किस मान के लिए x = 0 पर f संतत है?
यदि फलन f(x) = `{{:(sinx/x + cosx",", "यदि" x ≠ 0),("k"",", "यदि" x = 0):}` बिंदु x = 0 पर f संतत है, तो k का मान है।
उन बिंदुओं की संख्या जिन पर फलन f(x) = `1/(x - [x])` संतत नहीं है,
फलन f(x) = e x sinx, x ∈ π [0, π] के लिए, रोले के प्रमेय में c का मान है
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
| (A) यदि फलन f(x) = `{((sin3x)/x, "यदि फलन" x = 0),("k"/2",", "यदि फलन" x = 0):}` x = 0 पर संतत है, तो k बराबर है |
(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
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(d) असत्य |
x के सापेक्ष log10 का अवकलज ______ है।
एक संतत फलन में कुछ ऐसे बिंदु हो सकते हैं जहाँ सीमाओं का अस्तित्व न हों।
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