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Question
दर्शाइए कि x = 5 पर, f(x) = |x – 5| संतत है, परंतु अवकलनीय नहीं है।
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Solution
हमारे पास f(x) = |x – 5| है।
⇒ f(x) = `{{:(-(x - 5)",", "if" x - 5 < 0 or x < 5),(x - 5",", "if" x - 5 > 0 or x > 5):}`
x = 5 पर सांतत्य के लिए
L.H.L. `lim_("h" -> 5^-) "f"(x)` = – (x – 5)
= `lim_("h" -> 0) - (5 - "h" - 5)`
= `lim_("h" -> 0) "h" = 0`
R.H.L. `lim_(x -> 5^+) "f"(x)` = x – 5
= `lim_("h" -> 0) (5 + "h" - 5)`
= `lim_("h" -> 0) "h"` = 0
L.H.L. = R.H.L.
अत: f(x) x = 5 पर संतत है।
अब, भिन्नता के लिए
Lf'(5) = `lim_("h" -> 0) ("f"(5 - "h") - "f"(5))/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) (-(5 - "h" - 5) - (5 - 5))/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) "h"/(-"h")`
= – 1
Rf'(5) = `lim_("h" -> 0) ("f"(5 + "h") - "f"(5))/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ((5 + "h" - 5) - (5 - 5))/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ("h" - 0)/"h"`
= 1
∵ Lf'(5) ≠ Rd'(5)
अत: x = 5 पर f(x) अवकलनीय नहीं है।
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