Advertisements
Advertisements
Question
दर्शाइए कि x = 5 पर, f(x) = |x – 5| संतत है, परंतु अवकलनीय नहीं है।
Advertisements
Solution
हमारे पास f(x) = |x – 5| है।
⇒ f(x) = `{{:(-(x - 5)",", "if" x - 5 < 0 or x < 5),(x - 5",", "if" x - 5 > 0 or x > 5):}`
x = 5 पर सांतत्य के लिए
L.H.L. `lim_("h" -> 5^-) "f"(x)` = – (x – 5)
= `lim_("h" -> 0) - (5 - "h" - 5)`
= `lim_("h" -> 0) "h" = 0`
R.H.L. `lim_(x -> 5^+) "f"(x)` = x – 5
= `lim_("h" -> 0) (5 + "h" - 5)`
= `lim_("h" -> 0) "h"` = 0
L.H.L. = R.H.L.
अत: f(x) x = 5 पर संतत है।
अब, भिन्नता के लिए
Lf'(5) = `lim_("h" -> 0) ("f"(5 - "h") - "f"(5))/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) (-(5 - "h" - 5) - (5 - 5))/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) "h"/(-"h")`
= – 1
Rf'(5) = `lim_("h" -> 0) ("f"(5 + "h") - "f"(5))/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ((5 + "h" - 5) - (5 - 5))/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ("h" - 0)/"h"`
= 1
∵ Lf'(5) ≠ Rd'(5)
अत: x = 5 पर f(x) अवकलनीय नहीं है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
यदि cos y = x cos (a + y) तथा cos a ≠ ±1 है तो सिद्ध कीजिए कि `dy/dx = (cos^2 (a + y))/(sin a)`।
दर्शाइए कि f(x) = `{{:(x sin 1/x",", x ≠ 0),(0",", x = 0):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0 पर संतत है।
यदि y = `sin^-1 {xsqrt(1 - x) - sqrt(x) sqrt(1 - x^2)}` और 0 < x < 1 है, तो `("d"y)/(dx)` ज्ञात कीजिए।
[3, 5] में फलन f (x) = (x – 3) (x – 6) (x – 9 के लिए माध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
फलन f(x) = [x], जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन को व्यक्त करता है, निम्नलिखित पर संतत है।
x के सापेक्ष sec (tan–1x) का अवकल गुणांक है
यदि u = `sin^-1 ((2x)/(1 + x^2))` और v = `tan^-1 ((2x)/(1 - x^2))`, है, तो `"du"/"dv"` है
यदि y = `sec^-1 ((sqrt(x) + 1)/(sqrt(x + 1))) + sin^-1((sqrt(x) - 1)/(sqrt(x) + 1))` है, तो `"dy"/"dx"` = ______ है।
y = |x – 1| एक संतत फलन है।
|sinx| चर के x के प्रत्येक मान के लिए एक अवकलनीय फलन है।
x = 1 पर f(x) = |x| + |x − 1|
x = 2 पर f(x) = `{{:((2^(x + 2) - 16)/(4^x - 16)",", "यदि" x ≠ 2),("k"",", "यदि" x = 2):}`
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
x = 0 पर, f(x) = `{{:(x^2 sin 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
`2^(cos^(2_x)`
`cos(tan sqrt(x + 1))`
(sin x)cosx
(x + 1)2(x + 2)3(x + 3)4
`sec^-1 (1/(4x^3 - 3x)), 0 < x < 1/sqrt(2)`
tan–1x के सापेक्ष `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.
यदि x = `"e"^(x/y)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (x - y)/(xlogx)`
यदि yx = ey – x तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (1 + log y)^2/logy`
यदि y = `(cos x)^((cos x)^((cosx)....oo)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (y^2 tanx)/(y log cos x - 1)`
`[0, pi/2]` esa f(x) = `sin^4x + cos^4x`
फलन f(x) = `(4 - x^2)/(4x - x^3)`
यदि f.g बिंदु x = a पर संतत है, तो f और g बिंदु x = a पर पृथक-पृथक रूप से संतत होते हैं।
