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Question
दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
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Solution
x = 0 पर :
`lim_(x -> 0^-) "f"(x) = lim_(x -> 0^-) ("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)`
= `(0 - 1)/(0 + 1)`
= −1
इसी प्रकार, `lim_(x -> 0^+) "f"(x) = lim_(x -> 0^+) ("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)`
= `lim_(x -> 0^+) (1 - 1/"e"^(1/x))/(1 + 1/"e"^(1/x))`
= `lim_(x -> 0^+) (1 - "e"^((-1)/x))/(1 + "e^((-1)/x)`
= `(1 - 0)/(1 + 0)`
= 1
इस प्रकार `lim_(x -> 0^-) "f"(x) ≠ lim "f"(x)_(x -> 0^+)` है।
अतः, `lim_(x -> 0) "f"(x)` का अस्तित्व नहीं है। इसीलिए x = 0 पर f असंतत है।
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