Question

यदि y^x = e^{y – x} तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (1 + log y)^2/logy`

Answer 1

दिया गया है: y^x = e^{y – x} 

दोनों पक्षों पर log लेते हुए log y^x = log e^{y – x} 

⇒ x log y = (y – x)log e

⇒ x log y = y – x   .....[∵ log e = 1]

⇒ x log y + x = y

⇒ x(log y + 1) = y

⇒ x = `y/(log y + 1)`

दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. y

`"dx"/"dy" = "d"/"dy"(y/(log y + 1))`

= `((log y + 1) * 1 - y * "d"/"dy" (log y + 1))/(log y + 1)^2`

= `(log y + 1 - y * 1/2)/(log y + 1)^2`

= `logy/(log y + 1)^2`

हम जानते हैं कि

`"dy"/"dx" = 1/("dx"/"dy")`

= `1/(logy/(log y + 1)^2`

= `(log y + 1)^2/logy`

अत: `"dy"/"dx" = (log y + 1)^2/logy`