Advertisements
Advertisements
Question
`tan^-1 (secx + tanx), - pi/2 < x < pi/2`
Advertisements
Solution
माना y = tan–1(sec x + tan x)
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
`"dy"/"dx" = "d"/"dx" [tan^-1 (secx + tanx)]`
= `1/(1 + (secx + tanx)^2) * "d"/"dx"(secx + tanx)`
= `1/(1 + sec^2 + tan^2x + 2 sec x tanx) * (secx tanx + sec^2x)`
= `1/((1 + tan^2x) + sec^2x + 2secx tanx) * secx(tanx + secx)`
= `1/(sec^2x + sec^2x + 2secx tanx) * secx(tanx + secx)`
= `1/(2sec^2x + 2secx tanx) * secx(tanx + secx)`
= `1/(2secx(secx + tanx)) * secx(tanx + secx)`
= `1/2`
अत: `"dy"/"dx" = 1/2`
दूसरा तरीका:
मान लीजिए y = `tan^-1 (secx + tanx), (-pi)/2 < x < pi/2`
= `tan^-1 (1/cosx + sinx/cosx)`
= `tan^-1 ((1 + sinx)/cosx)`
= `tan^-1 [(cos^2 x/2 + sin^2 x/2 + 2sin x/2 cos x/2)/(cos^2 x/2 - sin^2 x/2)]` ......`[("क्योंकि" 2x = 2sinx cosx),(cos2x = cos^2x - sin^2x)]`
= `tan^-1 [(cos x/2 + sin x/2)^2/((cos x/2 + sin x/2)(cos x/2 - sin x/2))]`
= `tan^-1 [(cos x/2 + sin x/2)/(cos x/2 - sin x/2)]`
= `tan^-1 [(1 + tan x/2)/(1 - tan x/2)]` .....[Nr. को विभाजित करना और Den. द्वारा cos `x/2`]
= `tan^-1 [(tan pi/4 + tan x/2),(1 - tan pi/4 * tan x/2)]`
= `tan^-1 [tan (pi/4 + x/2)]`
∴ y = `pi/4 + x/2`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
`"dy"/"dx" = 1/2 "d"/"dx" (x)`
= `1/2 * 1`
= `1/2`
इसलिए, `"dy"/"dx" = 1/2`
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`(cos^(-1) x/2)/sqrt(2x+7)`, −2 < x < 2
यदि cos y = x cos (a + y) तथा cos a ≠ ±1 है तो सिद्ध कीजिए कि `dy/dx = (cos^2 (a + y))/(sin a)`।
अचर k का मान ज्ञात कीजिए ताकि फलन f ] x = 0 पर संतत हो, जहाँ f(x) = `{{:((1 - cos4x)/(8x^2)",", x ≠ 0),("k"",", x = 0):}` है।
`[0, pi/2]` में फलन f(x) = sin 2x के लिए रोले के प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
f(x) = `{{:(2x + 3",", "if" -3 ≤ x < - 2),(x + 1",", "if" -2 ≤ x < 0),(x + 2",", "if" 0 ≤ x ≤ 1):}` द्वारा परिभाषित फलन की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
यदि f(x) = `{{:("a"x + 1,"if" x ≥ 1),(x + 2,"if" x < 1):}` संतत है, तो a ______ के बराबर मान होना चाहिए।
x के सापेक्ष log10 का अवकलज ______ है।
|sinx| चर के x के प्रत्येक मान के लिए एक अवकलनीय फलन है।
x = 2 पर (x) = `{{:((2x^2 - 3x - 2)/(x - 2)",", "यदि" x ≠ 2),(5",", "यदिf" x = 2):}`
x = 5 पर f(x) = `{{:(3x - 8",", "यदि" x ≤ 5),(2"k"",", "यदि" x > 5):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((sqrt(1 + "k"x) - sqrt(1 - "k"x))/x",", "यदि" -1 ≤ x < 0),((2x + 1)/(x - 1)",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1):}`
`log [log(logx^5)]`
`sin sqrt(x) + cos^2 sqrt(x)`
sinn (ax2 + bx + c)
`sin^-1 1/sqrt(x + 1)`
`tan^-1 (sqrt((1 - cosx)/(1 + cosx))), - pi/4 < x < pi/4`
`tan^-1 ((3"a"^2x - x^3)/("a"^3 - 3"a"x^2)), (-1)/sqrt(3) < x/"a" < 1/sqrt(3)`
यदि x = ecos2t और y = esin2t तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (-y log x)/(xlogy)` है।
`sin xy + x/y` = x2 – y
tan–1(x2 + y2) = a
[0, 2π] में वक् y = (cosx – 1) पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
[1, 5] में f(x) = `sqrt(25 - x^2)`
वक्र y = (x – 3)2 पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा (3, 0) और (4, 1) बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा के समांतर हो।
बिंदुओं का वह समुच्चय, जहाँ f(x) = |2x − 1| sinx| से दिये जाना वाला फलन f अवकलनीय है, निम्नलिखित है।
फलन f(x) = cot x निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है।
एक ऐसे फलन का उदाहरण जो सभी स्थानों पर संतत है, परंतु ठीक दो बिंदुओं पर अवकलनीय रहने में असमर्थ रहता है ______ है।
x3 के सापेक्ष x2 अवकलज ______ है।
यदि f(x) = |cosx| तो `"f'"(pi/4)` = ______
त्रिकोणमितीय एवं त्रिकोणमितीय व्युत्क्रम फलन अपने-अपने प्राँतों में अवकलनीय होते हैं।
