NCERT Exemplar solutions for गणित एक्सेम्पलर [हिंदी] कक्षा ११ chapter 4 - गणितीय आगमन का सिद्धांत [Latest edition]

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n²

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सिद्ध कीजिए कि `sum_(t = 1)^(n - 1) t(t + 1) = (n(n - 1)(n + 1))/3`

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए, `(1 - 1/2^2).(1 - 1/3^2)...(1 - 1/n^2) = (n + 1)/(2n)`

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

2²ⁿ - 1 संख्या 3 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए 2n + 1 < 2ⁿ.

किसी अनुक्रम a₁, a₂, a₃... को इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि a₁ = 2, a_n = 5 a_n–1. जो सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए,

अनुक्रम के प्रथम चार पद (terms) लिखिए।

किसी अनुक्रम a₁, a₂, a₃... को इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि a₁ = 2, a_n = 5 a_n–1. जो सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए,

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, अनुक्रम के पद, सूत्र a_n = 2.5^n–1 को संतुष्ट करते हैं।

बीजगणित (algebra) के वितरण नियम द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं c, a₁ और a₂ के लिए, c(a₁ + a₂) = ca₁ + ca₂. इस वितरण नियम तथा गणितीय आगमन का प्रयोग करके, सिद्ध कीजिए कि, सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2, के लिए, यदि c, a₁, a₂,..., a_n वास्तविक संख्याएँ हैं, तो c(a₁ + a₂ + ... + a_n) = ca₁ + ca₂ + ... + ca_n

आगमन विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, sinα + sin(α + β) + sin(α + 2β)+ ... + sin(α + (n – 1)β)

= `(sin (alpha + (n - 1)/2 beta)sin((nbeta)/2))/(sin(beta/2))`

गणितीय आगमन के सिद्धान्त द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + n × n! = (n + 1)! – 1

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि श्रेणी (series), 1² + 2 × 2² + 3² + 2 × 4² + 5² + 2 × 6² ... के n पदों का योगफल S_n, निम्नलिखित प्रकार है, S_n = `{{:((n(n + 1)^2)/2",",  "यदि n सम है"),((n^2(n + 1))/2",",  "यदि n विषम है"):}`

मान लीजिए कि P(n) : “2ⁿ < (1 × 2 × 3 × ... × n)”, तो न्यूनतम धन पूर्णाक, जिसके लिए P(n) सत्य है,

एक विद्यार्थी को किसी कथन P(n) को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने के लिए कहा गया। उसने सिद्ध किया कि, सभी k > 5 ∈ N के लिए P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है और यह कि P(5) भी सत्य है। इसके आधार पर उसने निष्कर्ष निकाला कि P(n) सत्य है,

यदि P(n) : “2.4²ⁿ⁺¹ + 3³ⁿ⁺¹ सभी n ∈ N” के लिए, λ से भाज्य है, सत्य है, तो λ का मान ______ है।

यदि P(n) : "n ∈ N के लिए, 49ⁿ + 16ⁿ + k संख्या 64 से भाज्य है'' सत्य है, तो k का न्यूनतम ऋण पूर्णांक मान ______ है।

बताइए कि गणितीय आगमन द्वारा कथन P(n) : 1² + 2² + ... + n² = `(n(n + 1)(2n + 1))/6` की निम्नलिखित उपपत्ति सत्य है या असत्य है।

उपपत्ति गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा n = 1 के लिए P(n) सत्य है, क्योंकि

`1^2 = 1 = (1(1 + 1)(2.1 + 1))/6` पुन: किसी k ≥ 1 के लिए k² = `(k(k + 1)(2k + 1))/6`

अब हम सिद्ध करेंगे कि `(k + 1)^2 = ((k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1))/6`

एक ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए, जो सभी n ≥ 4 के लिए सत्य है किंतु P(1), P(2) तथा P(3) सत्य नहीं है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।

किसी ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए जो n के सभी मानों के लिए सत्य है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 4ⁿ − 1 संख्या 3 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2³ⁿ − 1, संख्या 7 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, n³ − 7n + 3, संख्या 3 भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए 3²ⁿ − 1 संख्या 8 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

किसी प्राकृत संख्या n के लिए 7ⁿ − 2ⁿ संख्या 5 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

किसी प्राकृत संख्या n के लिए, xⁿ − yⁿ, x − y से भाज्य है, जहाँ x तथा y पूर्णांक है और x ≠ y.

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, n³ − n, संख्या 6 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n² + 5), संख्या 6 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n ≥ 5 के लिए, n² < 2ⁿ.

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2n < (n + 2)!

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, `sqrtn<1/sqrt1+1/sqrt2+…+1/sqrtn`

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n² + n.

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 2 + 2² + ... + 2ⁿ = 2^{n + 1} − 1.

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1)

सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए, एक अनुक्रम a₁, a₂, a₃ ...., a₁ = 3 तथा a_k = 7a_{k − 1} द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए a_n = 3.7ⁿ⁻¹.

सभी प्राकृत संख्या k के लिए एक अनुक्रम b₀, b₁, b₂ ...., b₀ = 5 तथा b_k = 4 + b_{k − 1} द्वारा परिभाषित है। गणितीय आगमन के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए b_n = 5 + 4n.

सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए अनुक्रम d₁, d₂, d₃ ..., d₁ = 2 तथा `d_k = (d_{k - 1})/k` द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी n ∈ N के लिए, `d_n = 2/(n!)`.

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि,

cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n  - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin  beta/2)`

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, cosθ cos2θ cos2²θ ... cos2ⁿ⁻¹θ = `(sin2^nθ)/(2^nsinθ)`.

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = ((sin  ntheta)/2 sin(n + 1)/2theta)/(sin  theta/2)`

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `n^5/5 + n^3/3 + (7n)/15` एक प्राकृत संख्या है।

सभी प्राकृत संख्या n > 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि `1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) > 13/24`.

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि n भिन्न-भिन्न distinct अवयव वाले (अंतर्विष्ट किए हुए) समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2ⁿ है।

यदि सभी n ∈ N के लिए, 10ⁿ + 3.4^{n + 2} + k, संख्या 9 से भाज्य है, तो k का लघुतम पूर्णांक मान ______।

सभी n ∈ N के लिए, `3.5^{2n + 1} + 2^{3n + 1}`, निम्नलिखित में से किस संख्या से भाज्य है:

यदि xⁿ − 1.x − k, से भाज्य है, तो k का न्यूनतम पूर्णांक है:

यदि P(n) : 2n < n!, n ∈ N, तो P(n) सभी n ≥ ______ के लिए सत्य है।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है। औचित्य भी बताइए:

मान लीजिए कि P(n) एक कथन है और मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(k) ⇒ P(k + 1), तो P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।