Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1)

Answer 1

देखिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए P(n) : 1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = n(2n - 1)

​P(1) : 1 = 1(2 × 1 - 1) = 1,​ सही है।

इसलिये, P(1) सत्य है।

आइए हम मान लें कि कुछ प्राकृतिक संख्या n = k के लिए P(n) यह सही है।

∴ P(K) : 1 + 5 + 9 + ...... + (4k - 3) + [4(k + 1) - 3] .... (1)

साबित करो, P(k + 1) सही है।

P(k + 1) : 1 + 5 + 9 + ... + (4k - 3) + [4(k + 1) - 3]

= 2k² - k + 4k + 4 - 3

= 2k² + 3k + 1

= (k + 1) (2k + 1)

= (k + 1) [2(x + 1) - 1]

इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।