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प्रश्न
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, `sqrtn<1/sqrt1+1/sqrt2+…+1/sqrtn`
प्रमेय
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उत्तर
देखिए प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n ≥ 2 के लिए P(n) : `sqrtn < 1/sqrt1 + 1/sqrt2+ …… +1/sqrtn`,
अब, P(2) : `sqrt2 < 1/sqrt1 + 1/sqrt2 + …… +1/sqrt2`, सही है। इसलिये, P(2) सत्य है।
आइए हम मान लें कि कुछ प्राकृतिक संख्या n = k के लिए P(n) यह सही है।
∴ P(k) : `sqrtk < 1/sqrt1 + 1/sqrt2 + …… + 1/sqrtk` .......(1)
साबित करो, P(k + 1) सही है।
`1/sqrt1 + 1/sqrt2 + ….. + 1/sqrtk + 1/sqrt(k + 1) > sqrtk + 1/sqrt(k + 1) > sqrt(k + 1) (because 1/sqrt(k + 1) > 0)`
इस प्रकार, जहाँ भी P(k) सत्य है वह P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n, n ≥ 2, के लिए P(n) सही है।
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गणितीय आगमन का सिद्धांत
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