Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

2²ⁿ - 1 संख्या 3 से भाज्य है।

Answer 1

मान लीजिए कि प्रदत्त कथन P(n) है अर्थात्‌ P(n) : 2²ⁿ – 1, संख्या 3 से भाज्य है (सभी प्राकृत संख्या n के लिए) हम देखते हैं कि, P(1) सत्य है, क्योंकि

2² – 1 = 4 – 1 = 3.1 जो संख्या 3 से भाज्य है।

मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(n) सत्य है, अर्थात्‌ P(k) : 2^2k – 1 संख्या 3 से भाज्य है, अर्थात्‌ 2^2k – 1 = 3q, जहाँ q ∈ N अब P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए हम देखते हैं कि,

P(k + 1) : `2^(2(k + 1)) - 1`

= `2^(2k + 2)  –  1`

= 2^2k . 2² – 1

= 2^2k . 4 – 1

= 3.2^2k + (2^2k – 1)

= 3.2^2k + 3q

= 3(2^2k + q) = 3m, जहाँ m ∈ N

अतएव, जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से, सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, P(n) सत्य है।