Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2³ⁿ − 1, संख्या 7 से भाज्य है।

Answer 1

प्रत्येक P(n) : 2³ⁿ − 1 प्राकृतिक संख्या n के लिए 7 से विभाज्य होने दें।

अब P(1) : 2³ − 1 = 7 जो 7 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।

आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक संख्या n = k के लिए यह सही है।

P(k) : 2^3k को 7 से विभाज्य होने दें।

अथवा

2^3k - 1 = 7m, m ∈ N (i)

साबित करो, P(k + 1) सत्य है।

`​P("k" + 1) : 2^{3("k" + 1)} − 1`

= `2^{3"k"}⋅ 2^3 − 1`

= `8(7"m" + 1) − 1`

= `56"m" + 7​`

= 7(8m + 1), जो 7 से विभाज्य है।

इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।