Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: `1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3n - 1)(3n + 2)) = n/(6n + 4)`
Advertisements
उत्तर
माना P(n) : `1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3n - 1)(3n + 2)) = n/(6n + 4)`
यदि n = 1
बायाँ पक्ष = `1/2.5 = 1/10`
दायाँ पक्ष = `"n"/(6"n" + 4) = 1/(6 +4) = 1/10`
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3k - 1)(3k + 2)) = k/(6k + 4)`
(k + 1) वॉ पद = `k/([3(k +1) - 1][3(k +1) +2]` = `k/((3k + 2)(3k + 5))` दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
`1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3k - 1)(3k + 2)) = 1/((3k + 2)(3k +5))`
= `k/(6k + 4) + 1/((3k + 2)(3k +5))`
= `(k(3k + 5)+2)/(2(3k + 2)(3k + 5)`
= `(3k^2 + 5k + 2)/(2(3k + 2)(3k + 5)`
= `((3k + 2)(k +1))/(2(3k + 2)(3k + 5)`
= `(k + 1)/(6k + 10)`
= `(k + 1)/(6(k + 1) + 4`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:
`1 + 3 + 3^2 + ... + 3^(n – 1) =((3^n -1))/2`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1) (n + 2) = `(n(n+1)(n+2)(n+3))/4`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/(1.2.3) + 1/(2.3.4) + 1/(3.4.5) + ...+ 1/(n(n+1)(n+2)) = (n(n+3))/(4(n+1) (n+2))`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`(1+3/1)(1+ 5/4)(1+7/9)...(1 + ((2n + 1))/n^2) = (n + 1)^2`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n -1)^2 = (n(2n - 1) (2n + 1))/3`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + ...+ 1/((2n + 1)(2n +3)) = n/(3(2n +3))`
102n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
32n+2 – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सिद्ध कीजिए कि `sum_(t = 1)^(n - 1) t(t + 1) = (n(n - 1)(n + 1))/3`
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए 2n + 1 < 2n.
बीजगणित (algebra) के वितरण नियम द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं c, a1 और a2 के लिए, c(a1 + a2) = ca1 + ca2. इस वितरण नियम तथा गणितीय आगमन का प्रयोग करके, सिद्ध कीजिए कि, सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2, के लिए, यदि c, a1, a2,..., an वास्तविक संख्याएँ हैं, तो c(a1 + a2 + ... + an) = ca1 + ca2 + ... + can
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि श्रेणी (series), 12 + 2 × 22 + 32 + 2 × 42 + 52 + 2 × 62 ... के n पदों का योगफल Sn, निम्नलिखित प्रकार है, Sn = `{{:((n(n + 1)^2)/2",", "यदि n सम है"),((n^2(n + 1))/2",", "यदि n विषम है"):}`
मान लीजिए कि P(n) : “2n < (1 × 2 × 3 × ... × n)”, तो न्यूनतम धन पूर्णाक, जिसके लिए P(n) सत्य है,
एक ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए, जो सभी n ≥ 4 के लिए सत्य है किंतु P(1), P(2) तथा P(3) सत्य नहीं है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, n3 − 7n + 3, संख्या 3 भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, n3 − n, संख्या 6 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n2 + 5), संख्या 6 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n ≥ 5 के लिए, n2 < 2n.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2n < (n + 2)!
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, `sqrtn<1/sqrt1+1/sqrt2+…+1/sqrtn`
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2n + 1 − 1.
सभी प्राकृत संख्या k के लिए एक अनुक्रम b0, b1, b2 ...., b0 = 5 तथा bk = 4 + bk − 1 द्वारा परिभाषित है। गणितीय आगमन के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए bn = 5 + 4n.
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि,
cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin beta/2)`
यदि P(n) : 2n < n!, n ∈ N, तो P(n) सभी n ≥ ______ के लिए सत्य है।
