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प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: `1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3n - 1)(3n + 2)) = n/(6n + 4)`
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उत्तर
माना P(n) : `1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3n - 1)(3n + 2)) = n/(6n + 4)`
यदि n = 1
बायाँ पक्ष = `1/2.5 = 1/10`
दायाँ पक्ष = `"n"/(6"n" + 4) = 1/(6 +4) = 1/10`
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3k - 1)(3k + 2)) = k/(6k + 4)`
(k + 1) वॉ पद = `k/([3(k +1) - 1][3(k +1) +2]` = `k/((3k + 2)(3k + 5))` दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
`1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3k - 1)(3k + 2)) = 1/((3k + 2)(3k +5))`
= `k/(6k + 4) + 1/((3k + 2)(3k +5))`
= `(k(3k + 5)+2)/(2(3k + 2)(3k + 5)`
= `(3k^2 + 5k + 2)/(2(3k + 2)(3k + 5)`
= `((3k + 2)(k +1))/(2(3k + 2)(3k + 5)`
= `(k + 1)/(6k + 10)`
= `(k + 1)/(6(k + 1) + 4`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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`1^2 = 1 = (1(1 + 1)(2.1 + 1))/6` पुन: किसी k ≥ 1 के लिए k2 = `(k(k + 1)(2k + 1))/6`
अब हम सिद्ध करेंगे कि `(k + 1)^2 = ((k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1))/6`
किसी ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए जो n के सभी मानों के लिए सत्य है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
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