Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए 3²ⁿ − 1 संख्या 8 से भाज्य है।

Answer 1

P(n) : 3²ⁿ − 1 प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए 8 से विभाज्य होने दें।

अब P(1) : 3² − 1 = 8 जो 8 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।

आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।

P(k) : 3^2k − 1 को 8 से विभाज्य होने दें।

अथवा 3^2k − 1 = 8m, m ∈ N ...........(i)

साबित करो P(k + 1) सत्य है।

P(k + 1) : `3^{2("k" + 1)} − 1`

= 3^2k × 3² − 1

= 9(8m + 1) − 1

= 72m + 9 − 1

= 72m + 8​

= 8(9m + 1) जो 8 से विभाज्य है।

इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।