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प्रश्न
32n+2 – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
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उत्तर
मान लीजिए P(n) : 32n+2 – 8n – 9 संख्या 8 से विभक्त होती है।
n = 1 के लिए,
3n+2 – 8n – 9 = 32+2 – 8.1 – 9
= 34 – 8 – 9
= 81 – 17 = 64
जो 8 से विभाजित है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है अर्थात
32k+2 – 8k – 9, संख्या 8 से विभक्त होती है।
या 32k+2 – 8k – 9 = 8m.
32k+2 = 8m + 8k + 9
k को k+ 1 से बदलने पर
32(k+1)+2 – 8 (k + 1) – 9 = 32.32k+2 – 8(k + 1) – 9.
= 9(8m + 8k + 9) – 8k – 17
= 9(8m + 8k) + 81 – 8k – 17
= 72m + 64k + 64
= 8(9m + 8k + 8)
यह भी 8 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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