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प्रश्न
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि,
cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin beta/2)`
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उत्तर
देखिए P(n) : cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos[α + (n – 1)β] = `(cos[alpha + ((n - 1)/2)beta][sin (nbeta)/2])/(sin beta/2)`
इसलिए, P(1) यह सच है।
⇒ P(k) : cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos[(α + (k – 1)β] = `cos[alpha + ((k - 1)/2)betasin((kbeta)/2)]/(sin beta/2)`
इसलिए, यह भी सच है।
⇒ P(k + 1) : cosα + cos(α + β) cos(α + 2β) + .... + cos[α + (k - 1)β] + cos[α + (k + 1 - 1)β] = `(cos[alpha + ((k - 1)/2)beta]sin((kbeta)/2))/(sin beta/2) + cos(alpha + kbeta)`
आगे हल करें।
= `(cos[alpha + ((k - 1)/2)beta]sin((kbeta)/2))/(sin beta/2) + cos(alpha + kbeta)`
= `(2cos[alpha + ((k - 1)/2)beta]sin((kbeta)/2) + 2cos(alpha + kbeta).sin beta/2)/(2 sin beta/2)`
= `(sin[alpha + kbeta - beta/2] - sin[alpha - beta/2] + sin[alpha + kbeta + beta/2] - sin[alpha + kbeta - beta/2])/(2sin beta/2)`
= `(sin[alpha + kbeta + beta/2] - sin(alpha - beta/2))/(2sin beta/2)`
आगे हल करें।
= `(2cos(alpha + (kbeta)/2)sin(k + 1)beta/2)/(2sin beta/2)`
= `(cos(alpha + (kbeta)/2)sin(k + 1)beta/2)/(sin beta/2)`
= `(cos[alpha + ((k + 1 - 1)/2)beta]sin((k + 1)/2)beta)/(sin beta/2)`
इसलिए, P(k + 1) के लिए यह सच है।
इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1)सत्य है।
यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin beta/2)` सही है।
