Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए 2n + 1 < 2ⁿ.

Answer 1

मान लीजिए कि P(n) प्रदत्त कथन है, अर्थात्‌ सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए P(n) : (2n + 1) < 2ⁿ हम देखते हैं कि P(3) सत्य है,

क्योंकि

2.3 + 1 = 7 < 8 = 2³

मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(n) सत्य है, अर्थात्‌ 2k + 1 < 2^k P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए, हमें सिद्ध करना है कि 2(k + 1) + 1 < 2^k+1

अब, 2(k + 1) + 1 = 2k + 3

= 2k + 1 + 2 < 2^k + 2 < 2^k . 2 = 2^{k + 1}.

अतएव जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) भी सत्य है।

अतः, सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा P(n) सत्य है।