Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

किसी प्राकृत संख्या n के लिए, xⁿ − yⁿ, x − y से भाज्य है, जहाँ x तथा y पूर्णांक है और x ≠ y.

Answer 1

देखिए, P(n) : xⁿ − yⁿ को x - y से विभाज्य होने दें। जहाँ x और y किसी भी पूर्णांक x ≠ y के साथ हैं।

अब, P(1) : x¹ − y¹ = x − y जो x − y से विभाज्य है इसलिए P(1) सत्य है।

आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।

P(k) : x^k − y^k को (x − y) से विभाज्य होने दें।

अथवा x^k − y^k = m(x − y), m ∈ N ...(i)

साबित करो, P(k + 1) सत्य है।

P(k + 1) : x^{k + 1} − y^{k + 1}

= x^k − x − x^k − y + x^k − y − y^ky

= x^k(x − y) + y(x^k − y^k)

= x^k(x − y) + ym(x − y)​ (using (i))

= (x − y)[x^k + ym], और x − y से विभाज्य है।

इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए  P(n) सही है।