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प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3n - 2)(3n + 1)) = n/((3n + 1))`
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उत्तर
माना
P(n) : `1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3n - 2)(3n + 1)) = n/((3n + 1))`
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = `1/(1.4) = 1/ 4`
दायाँ पक्ष = `n/(3n +i) = 1/(3+1) = 1/4`
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3k - 2)(3k + 1)) = k/((3k + 1))`
(k + 1) वाँ पद = `1/([3(k+1)-2][3(k+1)+1]) = 1/((3k +1)(3k +4))` दोनों के पक्षों में जोड़ने पर,
∴ `1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3k - 2)(3k + 1)) + 1/((3k +1)(3k +4))`
= `k/(3k +1) + 1/((3k +1)(3k +4))`
= `1/(3k+1) [k + 1/(3k +4)]`
= `(k(3k +4)+1)/((3k + 1)(3k +4))`
= `(3k^2 +4k +1)/((3k +1)(3k+4))`
= `((3k + 1)(k +1))/((3k +1)(3k +4)) =(k +1)/(3k +4)`
= `(k+1)/(3(k+1)+1`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।
102n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
x2n – y2n, (x + y) से भाज्य है।
32n+2 – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
(2n + 7) < (n+ 3)2
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए, `(1 - 1/2^2).(1 - 1/3^2)...(1 - 1/n^2) = (n + 1)/(2n)`
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
22n - 1 संख्या 3 से भाज्य है।
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सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए 2n + 1 < 2n.
बीजगणित (algebra) के वितरण नियम द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं c, a1 और a2 के लिए, c(a1 + a2) = ca1 + ca2. इस वितरण नियम तथा गणितीय आगमन का प्रयोग करके, सिद्ध कीजिए कि, सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2, के लिए, यदि c, a1, a2,..., an वास्तविक संख्याएँ हैं, तो c(a1 + a2 + ... + an) = ca1 + ca2 + ... + can
बताइए कि गणितीय आगमन द्वारा कथन P(n) : 12 + 22 + ... + n2 = `(n(n + 1)(2n + 1))/6` की निम्नलिखित उपपत्ति सत्य है या असत्य है।
उपपत्ति गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा n = 1 के लिए P(n) सत्य है, क्योंकि
`1^2 = 1 = (1(1 + 1)(2.1 + 1))/6` पुन: किसी k ≥ 1 के लिए k2 = `(k(k + 1)(2k + 1))/6`
अब हम सिद्ध करेंगे कि `(k + 1)^2 = ((k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1))/6`
किसी ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए जो n के सभी मानों के लिए सत्य है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 4n − 1 संख्या 3 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, n3 − 7n + 3, संख्या 3 भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए 32n − 1 संख्या 8 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n2 + 5), संख्या 6 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2n < (n + 2)!
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सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2n + 1 − 1.
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cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin beta/2)`
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