सभी प्राकृत संख्या k के लिए एक अनुक्रम b0, b1, b2 ...., b0 = 5 तथा bk = 4 + bk − 1 द्वारा परिभाषित है। गणितीय आगमन के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए bn = 5 + 4n.

प्रश्न

सभी प्राकृत संख्या k के लिए एक अनुक्रम b₀, b₁, b₂ ...., b₀ = 5 तथा b_k = 4 + b_{k − 1} द्वारा परिभाषित है। गणितीय आगमन के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए b_n = 5 + 4n.

सिद्धांत

उत्तर

पता है कि, b₀ = 5 और b_k = 4 + b_{k − 1}

b₁ प्राप्त करे।

⇒ b₁ = 4 + b₀

= 4 + 5

= 9

b₂ प्राप्त करे।

⇒ b₂ = 4 + b₁

= 4 + 9

= 13

समझलो, इसी तरह b₃, b₄, b₅,... गणना करें।

देखिए P(1) के लिए गणना करें।

⇒ b₁ = 5 + 4 = 9

इसलिए, 9 = 9

इसलिए, P(1) यह सच है।

P(k) के लिए गणना करें।

⇒ b_k = 5 + 4k

इसलिए, यह भी सच है।

⇒ P(k) = 4 + b_{k − 1}

k = k + 1 स्थानापन्न करे ।

⇒ P(k + 1) = `4 + b_{"k" + 1 − 1}`

= 4 + b_k

= 4 + 5 + 4k

= 5 + 4(k + 1)

इसलिए, P(k + 1) यह सच है।

इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।

यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए b_n = 5 + 4n सही है।

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गणितीय आगमन का सिद्धांत

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पाठ 4: गणितीय आगमन का सिद्धांत - प्रश्नावली [पृष्ठ ७१]

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एनसीईआरटी एक्झांप्लर Ganit Exemplar [Hindi] Class 11

पाठ 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत
प्रश्नावली | Q 18. | पृष्ठ ७१

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