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प्रश्न
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2n + 1 − 1.
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उत्तर
देखिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए P(n) : 1 + 2 + 22 + ….... + 2n = 2n + 1 − 1
P(1) : 1 = 20 + 1 − 1 = 2 − 1 = 1 सही है। इसलिए, P(1) सत्य है।
आइए हम मान लें कि कुछ प्राकृतिक संख्या n = k के लिए P(n) यह सही है।
∴ P(k) : 1 + 2 + 22 + ... + 2k = 2k + 1 − 1 ......(1)
साबित करो, P(k + 1) सही है।
P(k + 1) : 1 + 2 + 22 + ... + 2k + 2k + 1
= 2k + 1 − 1 + 2k + 1
= 2.2k + 1 − 1
= 1
= `2^{("k" + 1) + 1} − 1`
इसलिए, जहाँ भी P(k) सत्य है P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।
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