Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 2 + 2² + ... + 2ⁿ = 2^{n + 1} − 1.

Answer 1

देखिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए P(n) : 1 + 2 + 2² + ….... + 2ⁿ = 2^{n + 1} − 1

​P(1) : 1 = 2^{0 + 1} − 1 = 2 − 1 = 1​ सही है। इसलिए, P(1) सत्य है।

आइए हम मान लें कि कुछ प्राकृतिक संख्या n = k के लिए P(n) यह सही है।

∴ P(k) : 1 + 2 + 2² + ... + 2^k = 2^{k + 1} − 1 ......(1)

साबित करो, P(k + 1) सही है।

​P(k + 1) : 1 + 2 + 2² + ... + 2^k + 2k + 1

= 2^{k + 1} − 1 + 2^{k + 1}

= 2.2^{k + 1} − 1

= 1

= `2^{("k" + 1) + 1} − 1​`

इसलिए, जहाँ भी P(k) सत्य है P(k + 1) सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।