Question

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = ((sin  ntheta)/2 sin(n + 1)/2theta)/(sin  theta/2)`

Answer 1

P(n) : sinθ + sin2θ + sin3θ + ... + sinnθ

= `(sin  (ntheta)/2 * sin  ((n + 1)/2) theta)/(sin  theta/2)`, ∀ n ∈ N.

देखिए

⇒ P(1) : sinθ = `(sin  theta/2 . sin ((1 + 1)/2)theta)/(sin  theta/2)`

= `(sin  theta/2 . sin theta)/(sin  theta/2)`

= sinθ 

इसलिए, P(1) के लिए यह सच है।

⇒ P(k) : sinθ + sin2θ + sin3θ + ... + sinkθ

= `(sin  (ktheta)/2 * sin ((k + 1)/2)theta)/(sin  theta/2)`

इसलिये, P(k) के लिये यह सच है।

P(k + 1) : sinθ + sin2θ + sin3θ + ... + sin(k + 1)θ

= `(sin  (ktheta)/2 * sin ((k + 1)/2)theta)/(sin  theta/2) + sin(k + 1)theta`

= `(sin  (ktheta)/2 * sin ((k + 1)/2)theta + sin(k + 1)theta * sin  theta/2)/(sin  theta/2)`

= `(2sin  (ktheta)/2 * sin ((k + 1)/2)theta + sin (k + 1)theta * sin  theta/2)/(sin  theta/2)`

आगे हल करें।

= `(cos((ktheta)/2 - (k + 1)/2  theta) - cos((ktheta)/2 + (k + 1)/2  theta) + cos[(k + 1)theta -  theta/2] - [cos[(k + 1)theta + theta/2]))/(2sin  theta/2)`

= `(cos(theta/2) - cos(ktheta + (3theta)/2))/(2sin  theta/2)`

= `(-2sin((theta + ktheta + 3theta)/2).sin((theta - ktheta - 3theta)/2))/(2sin  theta/2)`

= `(sin((ktheta + 2theta)/2).sin((ktheta + 2theta)/2))/(sin  theta/2)`

आगे हल करें।

= `(sin[((k + 1) + 1)/2]theta.sin[(k + 1)/2]theta)/(sin  theta/2)`

इसलिये, P(k + 1) के लिये यह सच है।

इसलिये, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।

यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = (sin  (ntheta)/2 .sin((n + 1)/2)theta)/(sin  theta/2)` सही है।