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प्रश्न
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, cosθ cos2θ cos22θ ... cos2n−1θ = `(sin2^nθ)/(2^nsinθ)`.
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उत्तर
देखिए P(n) : cosθ.cos2θ.cos22θ ...cos2n–1θ = `(sin 2^n theta)/(2^n sin theta)`, ∀ n ∈ N.
⇒ P(1) : cosθ = `(sin 2^1 theta)/(2^1 sin theta)`
= `(sin 2theta)/(2sin theta)`
= `(2sin theta cos theta)/(2sin theta)`
= cosθ
इसलिये, P(1) यह सच है।
P(k) : cosθ.cos2θ.cos22θ ... cos2k – 1θ = `(sin 2^k theta)/(2^k sin theta)`
P(k) इसलिए, यह भी सच है।
P(k + 1) : cosθ.cos2θ.cos22θ ... cos2k – 1θ . cos`2^(("k"+1)–1`θ
= `(sin 2^k theta)/(2^k sin theta) * cos 2^((k + 1) - 1)theta`
= `(sin 2^k theta)/(2^k sin theta) * cos 2^ktheta`
= `(2 sin 2^k theta * cos 2^k theta)/(2.2^k sin theta)`
= `(sin 2.2^k theta)/(2^(k + 1) sin theta)`
इसलिए, P(k + 1) यह सच है।
इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।
यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए cosθ.cos2θ.cos22θ ... cos2n−1θ = `(sin2^nθ)/(2^nsinθ)` सही है।
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