Question

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, cosθ cos2θ cos2²θ ... cos2ⁿ⁻¹θ = `(sin2^nθ)/(2^nsinθ)`.

Answer 1

देखिए P(n) : cosθ.cos2θ.cos2²θ ...cos2^n–1θ = `(sin 2^n theta)/(2^n sin theta)`, ∀ n ∈ N.

⇒ P(1) : cosθ = `(sin 2^1 theta)/(2^1 sin theta)`

= `(sin 2theta)/(2sin theta)`

= `(2sin theta cos theta)/(2sin theta)`

= cosθ

इसलिये, P(1) यह सच है।

P(k) : cosθ.cos2θ.cos2²θ ... cos2^{k – 1}θ = `(sin 2^k theta)/(2^k sin theta)`

P(k) इसलिए, यह भी सच है।

P(k + 1) : cosθ.cos2θ.cos2²θ ... cos2^{k – 1}θ . cos`2^(("k"+1)–1`θ

= `(sin 2^k theta)/(2^k sin theta) * cos 2^((k + 1) - 1)theta`

=  `(sin 2^k theta)/(2^k sin theta) * cos 2^ktheta`

= `(2 sin 2^k theta * cos 2^k theta)/(2.2^k sin theta)`

= `(sin 2.2^k theta)/(2^(k + 1) sin theta)` 

इसलिए, P(k + 1) यह सच है।

इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।

यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए cosθ.cos2θ.cos2²θ ... cos2ⁿ⁻¹θ = `(sin2^nθ)/(2^nsinθ)` सही है।