Question

किसी अनुक्रम a₁, a₂, a₃... को इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि a₁ = 2, a_n = 5 a_n–1. जो सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए,

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, अनुक्रम के पद, सूत्र a_n = 2.5^n–1 को संतुष्ट करते हैं।

Answer 1

मान लीजिए कि प्रदत्त कथन P(n) है, अर्थात्, सभी प्राकृत संख्याओं के लिए

P(n) : a_n = 2.5^n–1 हम देखते हैं कि, P(1) सत्य है।

मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(n) सत्य है, अर्थात्‌ P(k) : a_k = 2.5^{k – 1}.

अब P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए हम देखते हैं कि,

P(k + 1) : a_{k + 1} = 5.a_k = 5.(2.5^{k – 1})

= `2.5^k = 2.5^{(k + 1)–1}`

अतएव, जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) सभी सत्य है।

अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, P(n) सत्य है।