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Question
सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए अनुक्रम d1, d2, d3 ..., d1 = 2 तथा `d_k = (d_{k - 1})/k` द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी n ∈ N के लिए, `d_n = 2/(n!)`.
Theorem
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Solution
पता है कि d1 = 2 और `d_k = (d_{k − 1})/k`
देखिए P(n) : dn = `2/{n!}`
P(1) के लिए गणना करें।
⇒ d1 = `2/{1!}`
= 2
इसलिए, P(1) यह सच है।
P(k) के लिए गणना करें।
⇒ `d_k = 2/{k!}`
इसलिए, यह भी सच है।
⇒ `d_k = (d_{k−1})/k`
k = k + 1 स्थानापन्न करे।
`d_{k + 1} = d_{k + 1 − 1}/(k + 1) = d_k/(k + 1) = 1/(k + 1) . 2/(k!) = 2/((k + 1)!)`
इसलिए, P(k + 1) यह सच है।
इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1)सत्य है।
यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए `d_n = 2/{n!}` सही है।
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गणितीय आगमन का सिद्धांत
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