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Question
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: `1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n = 1 - 1/2^n`
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Solution
माना `P(n) 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n = 1 - 1/2^n`
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = `1/2`
दायाँ पक्ष = 1 - `1/2 = 1/2`
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
`1/2 + 1/4 + 1/8 + ...... + 1/2^k + 1/(2^k +1) = 1 - 1/2^k + 1/(2^k +1)`
= 1 - `1/2^k (1 - 1/2)`
= 1 - `1/2^k 1/2 = 1 - 1/(2^k +1)`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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