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Question
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n -1)^2 = (n(2n - 1) (2n + 1))/3`
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Solution
माना
`1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n -1)^2 = (n(2n - 1) (2n + 1))/3`
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 12 = 1
दायाँ पक्ष = `(n(2n - 1) (2n + 1))/3 = (1.1.3)/3 = 1`
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2k -1)^2 = (k(2k - 1) (2k + 1))/3`
(k + 1) वाँ पद = `(2k +1)^2` दोनों के पक्षों में जोड़ने पर,
`1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2k -1)^2 = (k(2k - 1) (2k + 1))/3 + (2k + 1)^2`
= `(2k + 1)[(k(2k -1))/3 + (2k +1)]`
= `(2k + 1) [(k(2k -1) +3(2k +1))/3]`
= `((2k +1)(2k^2 + 5k +3))/3`
= `((2k +1)(k +1)(2k +3))/3`
= `((k +1)[2(k +1)-1][2(k +1)+1])/3`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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