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Question
(2n + 7) < (n+ 3)2
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Solution
मान लीजिए P(n) = (2n + 7) < (n + 3)2
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 2 × 1 + 7 = 9
दायाँ पक्ष = (n + 3)2
= (1 + 3)2 = 42 = 16
9 < 16
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 2k + 7 < (k + 3)2
या 2(k + 1) + 7 < (k + 3)2 + 2. [दोनों पक्षों में 2 जोड़ने से]
⇒ 2(k + 1) + 7 < k2 + 6k + 11 ….(1)
k को k + 1 रखने पर सिद्ध करना है।
2(k + 1) + 7 < (k + 1 + 3)2
या 2k + 9 < (k + 4)2
समी. (1) में दाएँ पक्ष में 2k + 5 जोड़ने पर
2(k + 1) + 7 < k2 + 6k + 11 + 2k + 5
< k2 + 8k + 16
< (k + 4)2
या 2k + 9 < (k + 4)2
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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