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Question
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
1.2 + 2.3 + 3.4+ ... + n(n+1) = `[(n(n+1)(n+2))/3]`
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Solution
माना
P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…. n(n + 1) = `((n(n+1)(n+2))/3)`
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2
दायाँ पक्ष = `(n(n +1)(n +2))/3 = (1.2.3)/3 = 2`
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है
∴ `1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + k (k + 1) = (k(k+1)(k + 2))/3`
(k + 1) वाँ पद = (k +1)(k +2)
दोनों के पक्षों में (k+ 1) (k +2) जोड़ने पर,
1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + k(k + 1) + (k +1)(k +2)
= `(k(k +1)(k +2))/3 + (k +1)(k +2)`
= `(k +1) (k +2) (k/3 +1)`
= `((k +1)(k +2)(k +3))/3`
= `((k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2))/3`
∴P(n), n = k +1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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