Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सिद्ध कीजिए कि `sum_(t = 1)^(n - 1) t(t + 1) = (n(n - 1)(n + 1))/3`

Answer 1

मान लीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए कथन P(n) निम्नवत प्रदत्त है। अर्थात्‌ P(n) : `sum_(t = 1)^(n - 1) t(t + 1) = (n(n - 1)(n + 1))/3` सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए।

हम देखते हैं कि,

P(2) : `sum_(t = 1)^(2 - 1) t(t + 1) = sum_(t = 1)^1 t(t + 1) = 1.2 = (1.2.3)/3`

= `(2.(2 - 1)(2 + 1))/3`

अतएव P(n), n = 2 के लिए सत्य है।

मान लीजिए कि किसी n = k ∈ N के लिए P(n) सत्य है।

अर्थात्‌ P(k) : `sum_(t = 1)^(k - 1) t(t + 1) = (k(k - 1)(k + 1))/3`

अब P(k + 1) का सत्य सिद्ध करने के लिए, हम देखते हैं कि

`sum_("t" = 1)^(("k" + 1 - 1)) "t"("t" + 1) = sum_("t" = 1)^"k" "t"("t" + 1)`

= `sum_("t" = 1)^(k - 1) t(t + 1) + k(k + 1)`

= `(k(k - 1)(k + 1))/3 + k(k + 1)`

= `k(k + 1)[(k - 1 + 3)/3]`

= `(k(k + 1)(k + 2))/3`

= `((k + 1)((k + 1) - 1)((k + 1) + 1))/3`

अतएव जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए, P(n) सत्य है।