Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए, `(1 - 1/2^2).(1 - 1/3^2)...(1 - 1/n^2) = (n + 1)/(2n)`

Answer 1

मान लीजिए कि प्रदत्त कथन P(n) है, अर्थात्‌ सभी प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, 

P(n) : `(1 - 1/2^2).(1 - 1/3^2)...(1 - 1/n^2) = (n + 1)/(2n)`

हम देखते हैं कि P(2) सत्य है, क्योंकि

`(1 - 1/2^2) = 1 - 1/4`

= `(4 - 1)/4`

= `3/4`

= `(2 + 1)/(2 xx 2)`

मान लीजिए कि किसी k ∈ N के लिए P(n) सत्य है, अर्थात्‌,

P(k) : `1 - 1/2^2 . 1 - 1/3^2  ...  1 - 1/k^2 = (k + 1)/(2k)`

अब P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए हम देखते हैं कि,

`1 - 1/2^2 . 1 - 1/3^2  ...  1 - 1/k^2 . 1 - 1/(k + 1)^2`

= `(k + 1)/(2k)(1 - 1/(k + 1)^2)`

= `(k^2 + 2k)/(2k(k + 1))`

= `((k + 1) + 1)/(2(k + 1))`

अतएव जब कभी P(k) सत्य है P(k + 1) भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए, P(n) सत्य है।