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Question
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2
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Solution
मान लीजिए कि दिया कथन P(n) है।
अत: P(n) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2, सभी n ∈ N के लिए, नोट कीजिए कि P(1) सत्य है, क्योंकि
P(1) : 1 = 12
मान लीजिए कि किसी k ∈ N के लिए P(k) सत्य है, अर्थात,
P(k) : 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2
अब, P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए, हम देखते हैं कि,
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1)
= k2 + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1 = (k + 1)2
अतः जब कभी P(k) सत्य है तब, P(k + 1) भी सत्य है।
अतएव गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा P(n), सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
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