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Question
सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए, एक अनुक्रम a1, a2, a3 ...., a1 = 3 तथा ak = 7ak − 1 द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए an = 3.7n−1.
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Solution
पता है कि, a1 = 3
a2 प्राप्त करे।
⇒ a2 = 7a2 − 1
= 7a1
= 21
⇒ a3 = 7a3 − 1
= 7a2
= 147
समझलो, इसी तरह a4, a5, a6, ... गणना करें।
देखिए P(n) : an = 3.7n − 1, ∀ n ∈ N
P(2) के लिए गणना करें।
इसलिए, 21 = 21
इसलिए, यह P(2)सच है।
इसलिए, यह भी सच है।
k = k + 1 स्थानापन्न करे ।
⇒ ak + 1 = 7ak
= 7(3.7k − 1)
= `3.7^{(k + 1) − 1}`
इसलिए, P(k + 1) यह सच है।
इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।
यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए an = 3.7n−1 सही है।
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