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Question
सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:
`1 + 3 + 3^2 + ... + 3^(n – 1) =((3^n -1))/2`
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Solution
मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,
`P(n): 1 + 3 + 3^2 + ..... + 3^(n-1) = (3^n - 1)/2`
n = 1 के लिए, हमारे पास है
P(1) = `(3^1 - 1)/2 = (3 - 1)/2 = 2/2 = 1`
जो की सत्य है।
किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिये की P(k) सत्य है, अर्थात
`1 + 3 + 3^1 + ..... + (3^1 - 1)/2`
अब यह सिद्ध करेंगे P(K+1) भी सत्य है,
विचार करें
`1 + 3 + 3^2 + ...+ 3^(k-1) + 3^((k + 1) -1)`
= `(1 + 3 + 3^2 + ... + 3^(k-1) + 3^k`
= `(3^k - 1)/2 + 3^k`
= `((3^k - 1) + 2 .3^k)/2`
= `(3.3^k - 1)/2`
= `(3.3^(k-1) - 1)/2`
जब भी P(k) सत्य होगा P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धातं के अनुसार P(n) उन सभी n के मान के लिए सत्य है जो n ϵ N है।
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