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Question
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1.3 + 2.3^2 + 3.3^3 + .... + n.3^n = ((2n - 1)3^(n +1) + 3)/4`
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Solution
`P(n) : 1.3 + 2.3^2 + 3.3^3 + ...... + n. 3^n = ((2n - 1)3^(n +1) + 3)/4`
यदि n = 1, P(n) का बायाँ पक्ष = 1.3 = 3
= `((2n - 1)3^(n +1) + 3)/4`
= `(1.9 + 3)/4 = 12/4 = 3`
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `1.3 + 2.3^2 + 3.3^3 + ..... + k.3^k = ((2k - 1).3^(k-1) + 3)/4`
`(k + 1) "वाँ पद" = (k +1).3^(k+1)`
`(k +1).3^(k +1)` दोनों के पक्षों में जोड़ने पर,
`1.3 + 2.3^2 + 3.3^3 + .... + k.3^k + (k + 1).3^(k +1)`
= `((2k -1).3^(k +1) + 3)/4 + (k +1).3^(k +1)`
= `((2k - 1).3^(k +1) + 3)/4 + (k + 1)3.^(k +1)`
= `((2k -1 + 4k +4).3^(k +1) + 3)/4`
= `((6k +3).3^(k+1) + 3)/4 = (3(2k +1).3^(k + 1) +3)/4`
= `([2(k +1)-1].3^(k+1+1) + 3)/4`
इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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