Question

x²ⁿ – y²ⁿ, (x + y) से भाज्य है।

Answer 1

मान लीजिए P(n) : x²ⁿ – y²ⁿ, x + y से विभाजित होता है।
n = 1 के लिए x² – y² = (x – y) (x + y) जो x + y से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ x^2k – y^2k, x + y से विभक्त होता है।
या x²⁶ – y^2k = m(x + y)
या x^2k = m(x + y) + y^2k …(1)
k के स्थान पर k + 1 रखने पर, सिद्ध करना है कि x^2(k+1) – y^2(k+1), x + y से विभक्त होता है।
x^2(k+1) – y^2(k+1) = x². x^2k – y^2k+2
= x²[m(x + y) + y^2k] – y^2k+1
(1) से 2k का मान रखने पर,
= m(x + y)x² + x²y^2k – y^2k+2
= m(x + y)x² + y^2k(x² – y²)
= (x + y) [mx² + y^2k(x – y)]
इससे सिद्ध होता है कि x^2(k+1) – y^2(k+1), x + y से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।