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प्रश्न
x2n – y2n, (x + y) से भाज्य है।
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उत्तर
मान लीजिए P(n) : x2n – y2n, x + y से विभाजित होता है।
n = 1 के लिए x2 – y2 = (x – y) (x + y) जो x + y से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ x2k – y2k, x + y से विभक्त होता है।
या x26 – y2k = m(x + y)
या x2k = m(x + y) + y2k …(1)
k के स्थान पर k + 1 रखने पर, सिद्ध करना है कि x2(k+1) – y2(k+1), x + y से विभक्त होता है।
x2(k+1) – y2(k+1) = x2. x2k – y2k+2
= x2[m(x + y) + y2k] – y2k+1
(1) से 2k का मान रखने पर,
= m(x + y)x2 + x2y2k – y2k+2
= m(x + y)x2 + y2k(x2 – y2)
= (x + y) [mx2 + y2k(x – y)]
इससे सिद्ध होता है कि x2(k+1) – y2(k+1), x + y से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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