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प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`(1+ 1/1)(1+ 1/2)(1+ 1/3)...(1+ 1/n) = (n + 1)`
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उत्तर
माना P(n) `(1+ 1/1)(1+ 1/2)(1+ 1/3)...(1+ 1/n) = n + 1`
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = `1 + 1/1 = 2`
दायाँ पक्ष = n + 1 = 1+ 1 = 2
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `(1+ 1/1)(1+ 1/2)(1+ 1/3)...(1+ 1/k) = k + 1`
(k + 1) वॉ पद =`1 + (1)/(k +1)` से दोनों पक्षों में गुणा पर,
`(1+ 1/1)(1+ 1/2)(1+ 1/3)...(1+ 1/k) = (1+ 1/(k + 1))`
= `(k + 1) (1 + 1/(k+1))`
= `(k + 1) ((k +1 +1)/(k +1))`
= k + 2 = k + 1 + 1
इससे सिद्ध होता है कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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बताइए कि गणितीय आगमन द्वारा कथन P(n) : 12 + 22 + ... + n2 = `(n(n + 1)(2n + 1))/6` की निम्नलिखित उपपत्ति सत्य है या असत्य है।
उपपत्ति गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा n = 1 के लिए P(n) सत्य है, क्योंकि
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अब हम सिद्ध करेंगे कि `(k + 1)^2 = ((k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1))/6`
किसी ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए जो n के सभी मानों के लिए सत्य है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
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गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
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गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
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गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
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