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प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1) (n + 2) = `(n(n+1)(n+2)(n+3))/4`
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उत्तर
मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,
`P(n): 1.2.3 + 2.3.4 +....+ n(n+1)(n + 2) = ((n +1) (n +2) (n +3))/4`
n = 1 के लिए, हमारे पास है
`P(1): 1.2.3 = 6 = (1 (1 +1)(1 +2) (1 +3))/4 = (1.2.3.4)/4 = 6`
जो की सत्य है।
किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिये की P(k) सत्य है, अर्थात
`1.2.3.+ 2.3.4 +.....+ k(k +1) (k +2) = (k(k+1)(k +2)(k +3))/4`
अब यह सिद्ध करेंगे P(K+1) भी सत्य है,
विचार करें
= {1.2.3 + 2.3.4 + ...... + k(k +1)(k +2)} + (k +1) (k +2) (k +3)
= `(k(k +1)(k +2)(k +3))/4 + (k + 1) (k + 2) (k +3)`
= `(k + 1)(k +2)(k +3) {k/(4 +1)}`
= `((k +1) (k +2)(k +3)(k +4))/4`
= `((k +1)(k + 1 +1)(k + 1 + 2) (k + 1 +3))/4`
जब भी P(k) सत्य होगा P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धातं के अनुसार P(n) उन सभी n के मान के लिए सत्य है जो n ϵ N है।
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किसी ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए जो n के सभी मानों के लिए सत्य है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
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