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प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1) (n + 2) = `(n(n+1)(n+2)(n+3))/4`
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उत्तर
मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,
`P(n): 1.2.3 + 2.3.4 +....+ n(n+1)(n + 2) = ((n +1) (n +2) (n +3))/4`
n = 1 के लिए, हमारे पास है
`P(1): 1.2.3 = 6 = (1 (1 +1)(1 +2) (1 +3))/4 = (1.2.3.4)/4 = 6`
जो की सत्य है।
किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिये की P(k) सत्य है, अर्थात
`1.2.3.+ 2.3.4 +.....+ k(k +1) (k +2) = (k(k+1)(k +2)(k +3))/4`
अब यह सिद्ध करेंगे P(K+1) भी सत्य है,
विचार करें
= {1.2.3 + 2.3.4 + ...... + k(k +1)(k +2)} + (k +1) (k +2) (k +3)
= `(k(k +1)(k +2)(k +3))/4 + (k + 1) (k + 2) (k +3)`
= `(k + 1)(k +2)(k +3) {k/(4 +1)}`
= `((k +1) (k +2)(k +3)(k +4))/4`
= `((k +1)(k + 1 +1)(k + 1 + 2) (k + 1 +3))/4`
जब भी P(k) सत्य होगा P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धातं के अनुसार P(n) उन सभी n के मान के लिए सत्य है जो n ϵ N है।
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102n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
x2n – y2n, (x + y) से भाज्य है।
32n+2 – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
(2n + 7) < (n+ 3)2
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए 2n + 1 < 2n.
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गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, अनुक्रम के पद, सूत्र an = 2.5n–1 को संतुष्ट करते हैं।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि श्रेणी (series), 12 + 2 × 22 + 32 + 2 × 42 + 52 + 2 × 62 ... के n पदों का योगफल Sn, निम्नलिखित प्रकार है, Sn = `{{:((n(n + 1)^2)/2",", "यदि n सम है"),((n^2(n + 1))/2",", "यदि n विषम है"):}`
किसी ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए जो n के सभी मानों के लिए सत्य है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 4n − 1 संख्या 3 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
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