Question

गणितीय आगमन के सिद्धान्त द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + n × n! = (n + 1)! – 1

Answer 1

मान लीजिए कि P(n) प्रदत्त कथन है, अर्थात्‌, सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए

P(n) : 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + n × n! = (n + 1)! – 1

ध्यान दीजिए कि P(1) सत्य है, क्योंकि P(1) : 1 × 1! = 1 = 2 – 1 = 2! – 1.

मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(n) सत्य है, अर्थात्‌,

P(k) : 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + k × k! = (k + 1)! – 1

P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए हम देखते हैं कि,

P(k + 1) : 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + k × k! + (k + 1) × (k + 1)!

= (k + 1)! – 1 + (k + 1)! × (k + 1)

= (k + 1 + 1) (k + 1)! – 1

= (k + 2) (k + 1)! – 1 = ((k + 2)! – 1)

अतएव, जब कभी P(k) सत्य है P(k + 1) भी सत्य है। इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धान्त द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, P(n) सत्य है।