Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 4ⁿ − 1 संख्या 3 से भाज्य है।

Answer 1

P(n) : 4ⁿ – 1 प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए 3 से विभाज्य होने दें।

अब P(1) : 4¹ – 1 = 3 , जो 3 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।

आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k. संख्या के लिए यह सही है।

P(K) : 4^k - 1 को 3 से विभाज्य होने दें।

अथवा

4^k - 1 = 3m, m ∈ N ........(i)

साबित करो, P(k + 1) सत्य है।

​P(k + 1) : 4^{k + 1} − 1

= 4^k − 4 − 1

= 4(3m + 1) − 1 [(i) का उपयोग करते हुए]

= 12m + 3​

= 3(4m + 1), जो 3 से विभाज्य है। इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।