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प्रश्न
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
किसी प्राकृत संख्या n के लिए 7n − 2n संख्या 5 से भाज्य है।
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उत्तर
देखिए P(n) : 7n − 2n प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए 3 से विभाज्य होने दें।
अब P(1) = 71 − 21 = 5 जो 5 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।
आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।
∴ P(k) = 7k − 2k को 5 से विभाज्य होने दें।
अथवा 7k − 2k = 5m, m ∈ N ....(i)
साबित करो P(k + 1) सत्य है।
P(k + 1) : 7k + 1 − 2k + 1
= 7k − 7 − 2k − 2
= (5 + 2)7k − 2k − 2
आगे हल करें
= 5 × 7k + 2.7k − 2 − 2k
= 5 × 7k + 2(7k − 2k)
= 5 × 7k + 2(5m)
= 5(7k + 2m) जो 5 से विभाज्य है। इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।
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