Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

किसी प्राकृत संख्या n के लिए 7ⁿ − 2ⁿ संख्या 5 से भाज्य है।

Answer 1

देखिए P(n) : 7ⁿ − 2ⁿ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए 3 से विभाज्य होने दें।

अब P(1) = 7¹ − 2¹ = 5 जो 5 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।

आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।

∴ P(k) = 7^k − 2^k को 5 से विभाज्य होने दें।

अथवा 7^k − 2^k = 5m, m ∈ N ....(i)

साबित करो P(k + 1) सत्य है।

P(k + 1) : 7^{k + 1} − 2^{k + 1}

= 7^k − 7 − 2^k − 2

= (5 + 2)7^k − 2^k − 2​

आगे हल करें

​= 5 × 7^k + 2.7^k − 2 − 2^k

= 5 × 7^k + 2(7^k − 2^k)

= 5 × 7^k + 2(5m)​

= 5(7^k + 2m) जो 5 से विभाज्य है। इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।