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प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1) (n + 2) = `(n(n+1)(n+2)(n+3))/4`
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उत्तर
मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,
`P(n): 1.2.3 + 2.3.4 +....+ n(n+1)(n + 2) = ((n +1) (n +2) (n +3))/4`
n = 1 के लिए, हमारे पास है
`P(1): 1.2.3 = 6 = (1 (1 +1)(1 +2) (1 +3))/4 = (1.2.3.4)/4 = 6`
जो की सत्य है।
किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिये की P(k) सत्य है, अर्थात
`1.2.3.+ 2.3.4 +.....+ k(k +1) (k +2) = (k(k+1)(k +2)(k +3))/4`
अब यह सिद्ध करेंगे P(K+1) भी सत्य है,
विचार करें
= {1.2.3 + 2.3.4 + ...... + k(k +1)(k +2)} + (k +1) (k +2) (k +3)
= `(k(k +1)(k +2)(k +3))/4 + (k + 1) (k + 2) (k +3)`
= `(k + 1)(k +2)(k +3) {k/(4 +1)}`
= `((k +1) (k +2)(k +3)(k +4))/4`
= `((k +1)(k + 1 +1)(k + 1 + 2) (k + 1 +3))/4`
जब भी P(k) सत्य होगा P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धातं के अनुसार P(n) उन सभी n के मान के लिए सत्य है जो n ϵ N है।
संबंधित प्रश्न
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सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि `1+ 1/((1+2)) + 1/((1+2+3)) +...+ 1/((1+2+3+...n)) = (2n)/(n +1)`
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`1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3n - 2)(3n + 1)) = n/((3n + 1))`
102n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
32n+2 – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए 2n + 1 < 2n.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि श्रेणी (series), 12 + 2 × 22 + 32 + 2 × 42 + 52 + 2 × 62 ... के n पदों का योगफल Sn, निम्नलिखित प्रकार है, Sn = `{{:((n(n + 1)^2)/2",", "यदि n सम है"),((n^2(n + 1))/2",", "यदि n विषम है"):}`
एक विद्यार्थी को किसी कथन P(n) को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने के लिए कहा गया। उसने सिद्ध किया कि, सभी k > 5 ∈ N के लिए P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है और यह कि P(5) भी सत्य है। इसके आधार पर उसने निष्कर्ष निकाला कि P(n) सत्य है,
एक ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए, जो सभी n ≥ 4 के लिए सत्य है किंतु P(1), P(2) तथा P(3) सत्य नहीं है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
किसी ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए जो n के सभी मानों के लिए सत्य है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 4n − 1 संख्या 3 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए 32n − 1 संख्या 8 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, n3 − n, संख्या 6 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1)
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सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए अनुक्रम d1, d2, d3 ..., d1 = 2 तथा `d_k = (d_{k - 1})/k` द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी n ∈ N के लिए, `d_n = 2/(n!)`.
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि,
cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin beta/2)`
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