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प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1) (n + 2) = `(n(n+1)(n+2)(n+3))/4`
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उत्तर
मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,
`P(n): 1.2.3 + 2.3.4 +....+ n(n+1)(n + 2) = ((n +1) (n +2) (n +3))/4`
n = 1 के लिए, हमारे पास है
`P(1): 1.2.3 = 6 = (1 (1 +1)(1 +2) (1 +3))/4 = (1.2.3.4)/4 = 6`
जो की सत्य है।
किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिये की P(k) सत्य है, अर्थात
`1.2.3.+ 2.3.4 +.....+ k(k +1) (k +2) = (k(k+1)(k +2)(k +3))/4`
अब यह सिद्ध करेंगे P(K+1) भी सत्य है,
विचार करें
= {1.2.3 + 2.3.4 + ...... + k(k +1)(k +2)} + (k +1) (k +2) (k +3)
= `(k(k +1)(k +2)(k +3))/4 + (k + 1) (k + 2) (k +3)`
= `(k + 1)(k +2)(k +3) {k/(4 +1)}`
= `((k +1) (k +2)(k +3)(k +4))/4`
= `((k +1)(k + 1 +1)(k + 1 + 2) (k + 1 +3))/4`
जब भी P(k) सत्य होगा P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धातं के अनुसार P(n) उन सभी n के मान के लिए सत्य है जो n ϵ N है।
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x2n – y2n, (x + y) से भाज्य है।
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गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, अनुक्रम के पद, सूत्र an = 2.5n–1 को संतुष्ट करते हैं।
एक विद्यार्थी को किसी कथन P(n) को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने के लिए कहा गया। उसने सिद्ध किया कि, सभी k > 5 ∈ N के लिए P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है और यह कि P(5) भी सत्य है। इसके आधार पर उसने निष्कर्ष निकाला कि P(n) सत्य है,
एक ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए, जो सभी n ≥ 4 के लिए सत्य है किंतु P(1), P(2) तथा P(3) सत्य नहीं है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
किसी प्राकृत संख्या n के लिए 7n − 2n संख्या 5 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
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गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2n < (n + 2)!
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
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गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n2 + n.
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बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है। औचित्य भी बताइए:
मान लीजिए कि P(n) एक कथन है और मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(k) ⇒ P(k + 1), तो P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
